复变函数论1-2-复平面ℂ上的点集2-7：单连通区域【没有“洞”的区域，其特点：属于单连通区域的任何一条简单闭曲线，在内部可经过连续的变形而缩成一点】、多连通区域

复变函数论1-2-复平面ℂ上的点集2-7：单连通区域【没有“洞”的区域，其特点：属于单连通区域的任何一条简单闭曲线，在内部可经过连续的变形而缩成一点】、多连通区域

复平面与单连通区域

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已于 2024-04-30 15:24:34 修改

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#数学分析

于 2024-04-29 21:47:25 首次发布

本文介绍了复变函数论中的单连通区域概念，强调了单连通区域的特性，即任何简单闭曲线可以连续变形缩成一点，同时讨论了多连通区域的定义。举例说明了不同类型的复平面区域，如圆形区域、半平面、带形区域和圆环形区域，并解释了为何圆环形区域是非单连通的，是二连通的。

例 1.19 zzz 平面上以原点为圆心, RRR 为半径的圆 (即圆形区域):

∣z∣

以及 zzz 平面上以原点为圆心, RRR 为半径的闭圆 (即圆形闭域):

∣z∣⩽R,|z| \leqslant R,∣z∣⩽R,

例 1.20 zzz 平面上以实轴 Im⁡z=0\operatorname{Im} z=0Imz=0 为边界的两个无界区域是

上半 zzz 平面 Im⁡z>0\operatorname{Im} z>0Imz>0. 下半 zzz 平面 Im⁡z<0\operatorname{Im} z<0Imz<0.

zzz 平面上以虚轴 Re⁡z=0\operatorname{Re} z=0Rez=0 为边界的两个无界区域是

左半 zzz 平面 Re⁡z<0\operatorname{Re} z<0